Объём и площадь поверхности шара
Объём и площадь поверхности шара по радиусу или диаметру, с точным ответом через π. Формулы, разбор и схема.
≈ 113,0973
≈ 113,0973
- S = 4πr² = 4π × 3² = 36π ≈ 113,0973
- V = ⁴⁄₃πr³ = ⁴⁄₃ × π × 3³ = 36π ≈ 113,0973
Что считает калькулятор
Шар — единственное из тел вращения, где вообще нет прямых сторон или плоских граней: это просто множество всех точек на заданном расстоянии от центра. У него одна определяющая величина — радиус, из которой сразу получаются и объём, и площадь поверхности.
В отличие от конуса, у шара в формулах нет квадратного корня и, значит, нет риска столкнуться с иррациональной промежуточной величиной вроде наклонной образующей. Поэтому и объём, и площадь поверхности шара всегда выражаются точно через π, для любого радиуса — целого или дробного.
Формула
S = 4πr², V = ⁴⁄₃πr³
- r
- радиус — расстояние от центра шара до любой точки его поверхности
- S
- площадь поверхности
- V
- объём
- Площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности цилиндра, в который этот шар точно вписан, — не самый очевидный факт, но его строго доказал ещё Архимед.
- Объём шара составляет ⅔ от объёма описанного вокруг него цилиндра (цилиндра с той же высотой, равной диаметру, и тем же радиусом).
Примеры
Радиус 3
- S = 4π × 3² = 36π ≈ 113,10
- V = ⁴⁄₃π × 3³ = 36π ≈ 113,10
Площадь и объём случайно совпадают числом при радиусе 3: оба равны 36π
Радиус 1
- S = 4π × 1² = 4π ≈ 12,57
- V = ⁴⁄₃π × 1³ = 4/3 π ≈ 4,19
Площадь 4π, объём 4/3 π — единичный шар, оба ответа точные
Частые вопросы
›Почему у шара объём и площадь при радиусе 3 получаются одним и тем же числом 36π?
Это не совпадение формул вообще, а особенность именно радиуса 3. Площадь растёт как 4r², объём — как (4/3)r³; они совпадают там, где 4r² = (4/3)r³, то есть при r = 3. Для любого другого радиуса числа перед π у площади и объёма будут разными.
›Как найти радиус шара, если известен объём?
Выразите радиус из формулы объёма: r = ∛(3V / (4π)). Сначала умножьте объём на 3, разделите на 4π, затем извлеките кубический корень из результата.
›Чем шар отличается от круга и сферы?
Круг — плоская фигура. Сфера — это только поверхность шара, аналог окружности в трёх измерениях: у неё есть площадь, но нет объёма, потому что внутренняя часть в неё не входит. Шар — это сфера вместе со всем, что внутри, то есть объёмное тело.
›Почему у шара нет отдельной боковой и полной площади, как у цилиндра или конуса?
Потому что у шара нет плоских оснований — вся его поверхность одна сплошная сфера без разрывов и стыков. У цилиндра и конуса есть плоские круглые основания, отдельные от изогнутой боковой части, поэтому там и появляется разделение на боковую и полную площадь.
Методика проверена