Площадь параллелограмма
Площадь и периметр параллелограмма по стороне и высоте, либо по двум сторонам и углу между ними — с диагоналями и точным ответом через корень для стандартных углов.
- Периметр
- 22
- S = a × h = 6 × 4 = 24
- P = 2(a + b) = 2 × (6 + 5) = 22
Что считает калькулятор
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны и равны. Площадь считается так же просто, как у прямоугольника: сторона, умноженная на высоту, опущенную на неё, — просто высота здесь не совпадает со второй стороной, если фигура не прямоугольник.
Если высота неизвестна, но есть обе стороны и угол между ними, площадь находится через синус угла: S = a·b·sin θ. Для стандартных углов — 30°, 45°, 60°, 90° и им дополнительных — синус выражается точным корнем, и тогда площадь тоже получается точным числом, а не только приближением.
Формула
S = a × h = a × b × sin θ
- a
- сторона, принятая за основание
- b
- смежная сторона
- h
- высота, опущенная на сторону a
- θ
- угол между сторонами a и b
- Высота всегда меньше или равна смежной стороне: h = b·sin θ, а синус не превышает единицы. Равенство получается только у прямоугольника, где θ = 90°.
- Диагонали связаны со сторонами через теорему косинусов: d₁² = a² + b² − 2ab·cos θ и d₂² = a² + b² + 2ab·cos θ. Сумма их квадратов всегда равна 2(a² + b²) — то же построение, что и в теореме Пифагора, только для произвольного угла, а не только 90°.
Примеры
Сторона 6, высота 4
- S = a × h = 6 × 4 = 24
Площадь параллелограмма 24
Стороны 4 и 6, угол 30°
- S = a × b × sin 30° = 4 × 6 × 0,5 = 12
Площадь получилась точным числом — синус 30° равен ровно 1/2
Частые вопросы
›Чем параллелограмм отличается от ромба и прямоугольника?
Ромб — параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые. Общий параллелограмм не требует ни того, ни другого: только параллельности и равенства противоположных сторон.
›Почему площадь иногда получается точным числом, а иногда только приближённым?
Площадь через угол зависит от синуса этого угла. У стандартных углов — 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° — синус выражается точно через целое число или корень (например, sin 45° = √2⁄2), и тогда при целых сторонах площадь тоже получается точной. Для произвольного угла синус — иррациональное число без такой записи, поэтому площадь можно указать только приближённо.
›Как найти высоту параллелограмма, если известны только стороны и угол?
Высота, опущенная на сторону a, равна h = b·sin θ, где b — смежная сторона, а θ — угол между ними. Это та же величина, что уже участвует в расчёте площади через угол: S = a·b·sin θ можно переписать как a·h, если сначала найти h отдельно.
›Что показывают диагонали параллелограмма?
Точкой пересечения диагонали параллелограмма делятся пополам, но по длине они не равны друг другу, кроме прямоугольника. Более длинная диагональ стягивает тупой угол между сторонами, более короткая — острый. Обе выражаются через стороны и угол по теореме косинусов.
Методика проверена
Смежные калькуляторы
Площадь трапеции
Площадь трапеции через среднюю линию, с восстановлением высоты по боковой стороне
ОткрытьГеометрияПлощадь прямоугольника и квадрата
Площадь, периметр и диагональ со схемой в реальном масштабе
ОткрытьГеометрияПлощадь ромба
Площадь ромба по диагоналям или по стороне и углу, с точным корнем
Открыть