Площадь сектора и сегмента круга
Площадь кругового сектора и сегмента, длина дуги и хорда по радиусу и центральному углу. Точный ответ через π, а для стандартных углов — и через корень.
≈ 18,8496
Это 1⁄6 окружности
- Длина дуги
- 2π
- Хорда
- 6
- Площадь сегмента
- 6π − 9√3
сегмент ≈ 3,2611
- Сектор — это 60° от полного круга (360°), то есть 1⁄6 окружности
- S = (θ / 360°) × πr² = (60 / 360) × π × 6² = 6π ≈ 18,8496
- L = (θ / 360°) × 2πr = (60 / 360) × 2π × 6 = 2π ≈ 6,2832
- Хорда = 2r × sin(θ/2) = 2 × 6 × sin(30°) ≈ 6
- Площадь сегмента = S сектора − S треугольника = 6π − 9√3 ≈ 3,2611
Что считает калькулятор
Сектор — это «кусок пирога»: часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Его площадь — это доля от площади всего круга, равная доле угла сектора от полного оборота в 360°: S = (θ / 360°) × πr². Раз площадь круга всегда выражается точно через π, то и площадь сектора — тоже точный кратный π при известных радиусе и угле, не только приближение.
Сегмент — фигура другая: это часть круга, отсечённая хордой — прямой линией, соединяющей концы дуги напрямую, в обход центра. Сегмент — это сектор без треугольника, который образуют два радиуса и хорда: S = S сектора − S треугольника = (1/2)r²(θ − sin θ), где угол θ здесь берётся в радианах. Треугольная часть точно выражается через корень только для стандартных углов вроде 30°, 45°, 60°, 90° — как и в параллелограмме или ромбе, — поэтому сегмент точен не всегда, даже когда сектор точен.
Формула
S сектора = (θ / 360°) × πr², S сегмента = (1/2)r²(θ − sin θ)
- r
- радиус круга
- θ
- центральный угол сектора в градусах (в формуле сегмента — в радианах)
- L
- длина дуги, L = (θ / 360°) × 2πr
- При θ = 360° сектор становится целым кругом, а хорда стягивается в точку — сегмент в этом случае тоже равен площади всего круга.
- Хорда, стягивающая сектор, находится как 2r × sin(θ/2) — та же половинно-угловая формула, что и у диагоналей ромба.
Примеры
Радиус 6, угол 60°
- S сектора = (60/360) × π × 6² = 6π ≈ 18,85
- Хорда = 2 × 6 × sin 30° = 6
- S сегмента = 6π − 9√3 ≈ 3,26
Площадь сектора точная — 6π, сегмента — тоже точная, 6π − 9√3
Радиус 4, угол 90° — четверть круга
- S сектора = (90/360) × π × 4² = 4π ≈ 12,57
- S сегмента = 4π − 8 ≈ 4,57
Сектор — ровно четверть площади круга, сегмент — 4π − 8
Частые вопросы
›Чем сектор отличается от сегмента?
Сектор ограничен двумя радиусами и дугой — это «кусок пирога» с вершиной в центре круга. Сегмент ограничен хордой и дугой, центр круга в него не входит — это «отрезанный ломтик». У любого сектора (кроме угла 180°) сегмент меньше по площади, потому что из сектора вычитается треугольник.
›Почему площадь сектора всегда точная, а сегмента — не всегда?
Площадь сектора — это просто доля площади круга, а площадь круга при известном радиусе всегда точный кратный π. Площадь сегмента дополнительно включает синус угла, а он выражается точным корнем только для отдельных «хороших» углов — 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Для остальных углов синус — иррациональное число без короткой точной записи, и сегмент остаётся только приближением.
›Как найти длину дуги отдельно от площади?
Длина дуги — это тоже доля от полной длины окружности: L = (θ / 360°) × 2πr. Это ровно та же логика, что у площади сектора, только вместо площади круга берётся длина окружности.
›При каком угле сектор становится половиной круга?
При θ = 180°. В этом случае хорда превращается в диаметр, а треугольник в формуле сегмента вырождается в отрезок нулевой площади — поэтому при 180° сегмент по площади равен сектору, оба составляют ровно половину круга.
Методика проверена