Калькулятор степеней и корней
Возведение числа в степень и извлечение корня с упрощением: множители выносятся из-под корня через разложение на простые числа, а не только десятичное приближение.
- 2 умножается само на себя 10 раз: 2^10 = 1024
Что считает калькулятор
Возведение в степень — это сокращённая запись повторного умножения числа на само себя: 2⁴ значит 2 × 2 × 2 × 2. Корень — обратная операция: он отвечает на вопрос, какое число нужно возвести в данную степень, чтобы получить число под корнем.
Большинство калькуляторов извлечения корня выдают только десятичное приближение вроде 8,485. Но у многих чисел под корнем есть множитель, который является точным квадратом, кубом и так далее — его можно вынести из-под корня, и результат станет точным, а не приближённым. √72 не обязательно округлять: это ровно 6√2. Этот калькулятор раскладывает число на простые множители и показывает, что выносится, а что остаётся под корнем.
Формула
aⁿ = a × a × … × a (n раз), a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, ⁿ√a — число, n-я степень которого равна a
- a
- основание степени или число под корнем
- n
- показатель степени или степень корня
- Любое число в нулевой степени равно 1, включая отрицательные и дробные основания — кроме самого нуля, где 0⁰ считается равным 1 только по соглашению.
- Корень чётной степени из отрицательного числа не существует среди действительных чисел: квадрат любого числа неотрицателен, значит и «отменить» его нельзя.
- Корень нечётной степени из отрицательного числа существует: ∛(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8.
Примеры
Возвести 2 в степень −3
- 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
- Отрицательный показатель — обратная величина: 2⁻³ = 1 / 8
2⁻³ = 0,125
Упростить √72
- 72 = 2³ × 3²
- 2³: делим показатель на степень корня — 3 ÷ 2 = 1, остаток 1 → наружу выходит 2, под корнем остаётся 2
- 3²: 2 ÷ 2 = 1 без остатка → наружу выходит 3
- Собираем: 6√2
√72 = 6√2 ≈ 8,485
Извлечь кубический корень из 8
- 8 = 2³
- 3 ÷ 3 = 1 без остатка → весь множитель выходит наружу
∛8 = 2 — корень точный, остатка под корнем нет
Частые вопросы
›Как вынести множитель из-под корня вручную?
Разложите число на простые множители и найдите показатели, которые делятся на степень корня без остатка (для квадратного корня — чётные). Эта часть выходит наружу, а остаток показателя — то, что не делится, — остаётся под корнем. Например, в 3² оба множителя выходят из-под квадратного корня целиком, а в 2³ выходит только 2¹, и один множитель 2 остаётся внутри.
›Почему 0⁰ считают равным единице?
Строго это неопределённость: с одной стороны любое число в нулевой степени равно 1, с другой — ноль в любой положительной степени равен 0. В большинстве калькуляторов и языков программирования по соглашению принимают 0⁰ = 1, потому что так удобнее в формулах — например, в биномиальном разложении и в определении многочленов.
›Что означает отрицательный показатель степени?
Знак минус у показателя означает переход к обратной величине: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Это не «отрицательное число», а дробь. Например, 5⁻² — это не −25, а 1/25 = 0,04.
›Почему нет действительного квадратного корня из отрицательного числа?
Квадрат любого действительного числа — и положительного, и отрицательного — всегда неотрицателен: (−3)² = 9, как и 3² = 9. Значит не существует действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным, и извлечь такой корень среди действительных чисел нельзя. Для этого в математике вводят отдельное множество — комплексные числа.
Методика проверена